Matek

Mint ahogy mindenki, én is tisztában vagyok vele, hogy a fuhu.hu egy hírújság, amelyben sokszor jelenik meg egyéni vélemény. Így például magam is gyakran művelem az ilyen cikkek írását, melyeket itt olvashatnak el az érdeklődők. Ezek leginkább a mindenkit érintő belpolitikával foglalkoznak, de mivel írtam már az energetikáról és a városfejlesztésről is, úgy gondolom, hogy egy természettudományos érdekesség (én legalábbis annak vélem) ugyanúgy igényt tarhat a figyelemre.

Természetesen ez is egy véleménycikk, de azzal a különbséggel, hogy ez a természettudományokban szokásos módon indoklással bír az állításainak az alátámasztására, és ha valakinek más a véleménye, az csak akkor fogadható el, ha matematikai érvekkel bizonyítja, hogy a cikk állítása helytelen, és szerinte mi lenne helyes. A téma aránylag egyszerű, a számegyenesek alapvető tulajdonságáról van szó, és mint minden ilyen állítást, illetve állításokat a bizonyítás mellett ki kell tenni a kritikának is, hogy a matematikusok többségi véleménye által bebizonyosodhasson róla: elvetendő vagy elfogadható.

Úgy gondolom, ha a téma a közlés révén megjelenik a közösségi térben, ott a szakmabeliek is elolvassák, utána megindul az értékelések sorozata, mely sorozat végén a fenti tétel megtalálja méltó helyét: vagy a kukában, vagy a könyvespolcokon. Az ilyen értékelések által fejlődik a Tudomány, mivel a kritikák és az utána következő szakmai megegyezés során egy újabb kérdést sikerül majd válasszá konvertálnia, azaz a nyilvánosság, a vita, az érvek ütköztetése viszi előre, és aki jót akar a szakmájának, nem is törekedhet másra.

A történet úgy kezdődött, hogy a következőket írtam (itt nagyon leegyszerűsítve látható, bővebb kifejtése a jelen írás végén):

1. Ha a számegyenesen két szám olyan szorosan helyezkedik el, hogy közöttük csak egy nulla hosszúságú szakasz van, akkor az nem két szám, hanem csak egy, mivel a két szám – lévén a számok nulla kiterjedésű pontok – ebben az esetben azonos.
2. Az 1. pontból következően két különböző szám közötti üres szakasz hossza biztosan > 0, akárhogy zsúfoljuk is tele számokkal a számegyenest.
3. A fentiekből adódón folytonos, azaz résmentes számegyenes csak nulla kiterjedésű számokból (pontokból) nem hozható létre, ezért a létező számegyenesek > 0 hosszúságú elemi szakaszokból állnak. A világ tehát minden szempontból kvantált, és sehol sem folytonos.

A közzététel ezzel a véleménycikkel megtörtént, és úgy remélem, hogy a szakemberek reakciói által valamilyen eredményhez biztosan eljuthatunk. Hogy ez pozitív lesz, vagy negatív, előre kiszámíthatatlan, de azt bizton állíthatjuk, hogy az ilyen vitákra a tudományágak napra készen tartásához feltétlenül szükség van.

A teljes szöveg:

FOLYTONOSSÁG, SZAKASZOSSÁG

1. A világegyetemben az objektumok tulajdonságainak mértéke számegyeneseken ábrázolható. Az adott tulajdonság annál nagyobb mértékű, minél távolabb van az origótól az ezt jellemző pont, amely a számegyenesen egy számnak felel meg.
2. A számegyenes elvileg kétfajta lehet. Az egyik egymás melletti számpontokból áll, ekkor az adott tulajdonság folytonosan változhat. A másik a diszkrét szakaszokból álló számegyenes, ebben az esetben minden változás ugrásszerű, azaz a változásoknak minimális mértéke van, amelynél kisebb változás nem lehetséges. A diszkrét szakaszok például a természetes számokkal jelölhetők.
3. Folytonosság egy számegyenesen akkor és csak akkor állhat elő, ha a számoknak van olyan szomszédja, amely összeér vele. Ha ilyen helyzet nem lehetséges, akkor a számegyenes folytonossága sem lehetséges, hiszen két szám között mindig marad rés, ahol elvileg semmi sincs, azaz a folytonosság sohasem adott.
4. Az ilyen helyzet elérése nem lehetséges, mert ha a nulla kiterjedésű számok érintkeznek (kötelező résmentesség, azaz az egymástól való távolságuk is nulla), akkor egyrészt semelyik számot sem lehetne a szomszédjaitól megkülönböztetni, mivel egybeesnek, másrészt minden „folytonos”-nak tekintett számegyenes egyetlen ponttá zsugorodna, akárhány pont alkotja is.
5. Ha már eleve egy > 0 hosszúságú, két szám által meghatározott szakaszból indulunk ki (legyen a két vége az a és a b pont, b > a, a szakasz hossza: b – a), amely szakaszt elkezdünk megtölteni az összes elképzelhető számmal a és b között, akkor a számok a szakaszt egyre apróbb részekre szabdalják, de helyet nem foglalnak belőle, lévén nulla kiterjedésűek. A „megtöltést” tehát akármeddig folytathatjuk, folytonos számegyenes sohasem alakulhat ki, mivel mindig maradnak a számok között rések, és ezen rések szummázott hossza mindig az eredeti szakasz teljes, érintetlen hosszának (b – a) felel meg. Ha egy számot úgy helyezünk el, hogy az a másikkal érintkezzen, akkor az ugyanaz a szám, mint amellyel érintkezik, azaz ennek a lépésnek nincs értelme. Az ilyen megtöltés révén a folytonos számegyenesnek még csak a megközelítése sem várható, mert akárhol tartunk a megtöltéssel, a szabad (még üres, azaz résnek tekinthető) szakaszhossz mindig pont akkora, mint amekkora az indulás pillanatában volt.
6. Ha feltételezzük, hogy a folytonosság előállítása valamilyen speciális matematikai módszerrel mégis lehetséges, és a 0 – 1 szakaszon a számegyenes folytonos, akkor az 1 – 2 közötti, szintén folytonos szakasz úgy állítható elő, hogy a 0 – 1 szakaszon található összes számhoz hozzáadunk 1-et. Ezek után képezzük az 1 – 2 szakasz összes számának reciprokát (folytonosság esetén minden számnak kötelezően létezik reciproka). A képzésből adódón [ x >>>  1/(x+1) ] az így kapott reciprok értékek darabra ugyanannyian vannak, mint a folytonosnak feltételezett 0 – 1 szakasz számértékei, ugyanakkor fele olyan hosszon elférnek, mivel mind a 0,5 – 1 szakaszon helyezkednek el. Megállapítható tehát, hogy a feltételezés helytelen volt, a 0 – 1 szakasz nem folytonos, azaz ellentmondásra jutottunk. Ugyanilyen ellentmondás van a 2 – 3 szakasz számaiból képzett reciprokok esetében is, lévén, hogy azok mind az 1/3 – 0,5 szakaszon találhatók, és így tovább, és így tovább, akár a végtelenben lévő (x – x+1) szakaszokig.
7. Az eddig leírt ellentmondások és bizonytalanságok a diszkrét szakaszokból álló, nem folytonos számegyenes használata esetén nem jelentkeznek. Ebből következően sokkal nagyobb a valószínűsége annak, hogy a világ összes objektumának összes tulajdonsága kvantált (azaz minimális mértéke van, melynél kisebbel az adott tulajdonság nem változhat), mint annak, hogy a tulajdonságaik folytonosan változók. Matematikai következmény, hogy a Világegyetem csak a racionális számokkal leírható, és hogy irracionális számokkal is jellemzett alakzatok (kör, négyzet) a valóságban nem léteznek.
8. A legfontosabb fizikai következmények:

• a tér nem folytonos, hanem háromdimenziós elemi téregységek alkotják. Ebből következően a térnek valamilyen szerkezete van, amelynek torzulása (az üres térrel ellentétben, amely ürességről nehezen képzelhető el, hogy torzulni tud) már alkalmas arra, hogy erőket közvetítsen. Ezek a torzulások hozzák létre azokat a szerkezeti kényszerpályákat, amelyeken az elemi tömegek mozognak. A téregységek nagy valószínűséggel a Magyar Kutatási Hálózat (HUN-REN) és a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem (BME) közös Morfodinamika Kutatócsoportja az Oxfordi Egyetemmel együttműködésben felfedezett lágy cellák, vagy hozzájuk hasonló térbeli alakzatok;
• az anyag keletkezése magyarázhatóvá válik. Az üres és folytonos térben a keletkezés minden szempontból bizonytalan, körülhatárolt téregységek esetén viszont könnyen elképzelhető, hogy az egyik téregység szétválik két, ellentétes (pozitív és negatív) tömegű, valamint ellentétes (pozitív és negatív) töltésű részre. A tér össztömege és töltése továbbra is nulla. A fenti módon négyfajta részecske keletkezhet, melyek azon tovább nem osztható elemeknek tekinthetők, amelyekből a Világegyetem fölépül.